TEE SE ITSE –LASKUTIKKU JA KUINKA KÄYTTÄÄ SITÄ

Laskutikut voi ladata täältä:

·     http://www.saunalahti.fi/aholop/Laskutikku_ver2.png

·     http://www.saunalahti.fi/aholop/Laskutikku_ver3.png

 

Ari Holopainen

Sähköposti: a77(miumau)europe.com

Päivitetty viimeksi 29.11.2017 (Toisen asteen yhtälö)


Sisällysluettelo

·     Johdanto  2

·     Kertolasku (C- ja D-asteikot) 3

·     Jakolasku (C- ja D-asteikot) 5

·     CI-asteikko  6

·     A- ja B-asteikot 8

·     K-asteikko  10

·     L-asteikko  11

·     Asteikot S, ST ja T  12

·     Asteikot LL2 ja LL3  13

·     Muita asteikoita  17

·     Soveltaminen  17

·     Toisen asteen yhtälö  19

·     Kuinka tehty  19

·     Lähteet 20

Johdanto

Laskutikun kuvan alla on linkit kahteen versioon tee se itse –laskutikusta. Ne on tehty Excelillä hyödyntämällä eri funktioita sekä logaritmia ja pohjautuvat laskutikkuun Aristo Scholar 0903 LL. Mukana ovat vain edellä mainitussa laskutikussa olevat asteikot, mutta asteikkoja on monia muitakin. Asteikkojen työläyden ja Excel-kuvan tarkkuuden johdosta asteikot eivät ole yhtä tarkkoja kuin oikeassa laskutikussa, mutta laskutikun idea tulee selville.

Käyttöönottoa varten tulosta jompikumpi laskutikun kuva A4-arkille. Jälkimmäinen on ohuempiviivaisena hieman tarkempi ja aidomman näköinen, mutta jos se tulostuu huonosti niin käytä ensimmäistä versiota. Laskutikkuun kuuluu kaksi osaa, runko ja liukuosa (oikeassa laskutikussa on lisäksi asteikkojen lukemista helpottava hahlo). Liukuosa on keskellä ja merkitty viivoilla. Alaviiva kulkee C- ja D-asteikkojen välissä ja yläviiva A- ja B-asteikkojen välissä. Liukuosaan kuuluvat asteikot C, CI, LL3, LL2 ja B. Kun leikkaat liukuosaa, puhkaise reikä sivuviivan kohdalle ja aloita leikkaus siitä. Älä siis aloita leikkausta paperin reunasta, sillä ylä- ja ala-asteikot (esimerkiksi D ja A) kuuluvat yhtenäiseen runko-osaan, eivätkä saa liikkua toisiinsa nähden. Kannattaa harkita laskutikun liimaamista pahville tai kartongille, sillä pelkkä paperinen laskutikku on melko rento.

Laskutikun idea on logaritmin käyttö, jolloin kerto- ja jakolaskusta tulee janojen pituuksien summaamista ja vähentämistä. Kaavoina tämä tarkoittaa logaritmin laskusääntöjä log(ab)=log(a)+log(b) ja log(a/b)=log(a)-log(b). Liikkeelle lähdetään normaalisti ykkösestä. Oikealle siirtyminen pidentää janaa ja kasvattaa lukua, vastaavasti vasemmalle siirtyminen pienentää sitä. Kaikki asteikot eivät ole lähellä toisiaan, mutta viivaimen laittaminen pystysuoraan luettavalle kohdalle helpottaa tuloksen lukemista (vertaa hahlon käyttö). Jotta viivain ei mene vinoon, logaritmiasteikko L on poikkeuksellisesti sekä ylhäällä että alhaalla, jolloin viivaimen pystysuoruus on helpompi tarkastaa.

Alkuun

Kertolasku (C- ja D-asteikot)

Tavallinen kertolasku tapahtuu C- ja D-asteikoilla. C-asteikko on liukuosassa ja D-asteikko rungossa. Esimerkiksi 3x2 tapahtuu seuravasti: Siirry D-asteikolla 1:stä 3:een (1. jana) ja siirrä C-asteikon 1 tähän 3:n kohdalle. Siirry C-asteikolla 1:stä 2:een (2. jana) ja lue tältä kohtaa tulos D-asteikolta toisin sanoen janojen summa. Tulokseksi saadaan 6.

Kuva 1. Kertolasku 3x2

Tulo 5x4 on vähän hankalampi tapaus: Kun siirrytään D-asteikolla 1:stä 5:een, siirretään C-asteikon 1 tähän kohtaan ja siirrytään C-asteikolla 4:ään lukemaan tulosta huomaamme olevamme D-asteikon ulkopuolella. Tarvittaisiin D-asteikolla väliä 10-100. Ongelma kierretään siirtymällä käyttämään kymmenesosia: C-asteikon 10 siirretään siihen missä 1 oli (eli nyt D-asteikon 5:n kohdalle) ja hypätään C-asteikon 1:n kohdalle (eli jaetaan 10:llä). Kun tehdään normaali siirtyminen 1:stä 4:ään, tulos osuu D-asteikolle ja on 2 eli kymmenesosa oikeasta tuloksesta.

Kuva 2. Kertolasku 5x4

Entä esimerkiksi tulo 12x60, jossa kumpikaan luku ei osu asteikolle? Luvut muutetaan muotoon 1,2x101 ja 6x101. Laskutikulla lasketaan siis tulo 1,2x6 ja lopuksi kerrotaan se 102:lla.

Alkuun

Jakolasku (C- ja D-asteikot)

Kuva 3. Jakolasku 7/6

Esimerkiksi jakolasku 7/6 etenee seuraavasti: Siirrytään D-asteikolla 1:stä 7:ään (1. jana), mutta nyt samaan kohtaan siirretäänkin C-asteikon 6 (jakaja). Tämän jälkeen siirrytään C-asteikolla 6:sta 1:een (2. jana) ja luetaan tulos D-asteikolta toisin sanoen janojen erotus (noin 1,17). Jos jaettava on pienempi kuin jakaja, esimerkiksi 4/5, C-asteikon 1 menee D-asteikon ulkopuolelle toisin sanoen tarvittaisiin väli 0,1-1. Tuloksen voi kuitenkin lukea C-asteikon 10:n kohdalta, jolloin saadaan 8 eli kymmenkertainen tulos oikeaan nähden.

Kuva 4. Jakolasku 4/5

Alkuun

CI-asteikko

CI-asteikko on käänteisluvun laskemista varten: Esimerkiksi luvun kaksi käänteislukua varten mennään C-asteikon 2:een ja luetaan vastaavalta kohdalta CI-asteikolta tulos (5). Koska molemmat asteikot ovat yhdestä kymmeneen eli esimerkiksi 10:n käänteisluvuksi tulee 1, tulos on aina kymmenkertainen oikeaan nähden. Käänteisluvun laskussa liukuosaa ei tarvitse siirtää lainkaan.

Kuva 5. Käänteisluvun ottaminen 2:sta

CI-asteikon avulla voi myös laskea kertolaskuja. Esimerkiksi 5x4 muuntuu muotoon 5:(1/4). Aluksi D-asteikolla mennään 1:stä 5:een kuten aiemminkin (1. jana), mutta CI-asteikolta tähän kohtaan tuodaan 4 (vertaa jakolasku). Sitten siirrytään CI-asteikolla 4:stä 1:een (2. jana) ja luetaan janojen summa D-asteikolta. Esimerkin tapauksessa joudumme taas D-asteikon ulkopuolelle, mutta tulos D-asteikolla voidaan lukea CI-asteikon 10:n kohdalta, jolloin saadaan 2 eli kymmenesosa oikeaan tulokseen nähden. Tulon laskeminen siinä tapauksessa, että ajaudutaan D-asteikon ulkopuolelle, on siis helpompaa CI-asteikkoa käyttäen.

Kuva 6. Tulo 5x4 käänteislukuasteikon avulla

Alkuun

A- ja B-asteikot

A- ja B-asteikot ovat neliöasteikoita, joista A on rungossa ja B liukuosassa. Esimerkiksi luvun kaksi neliö saadaan siirtymällä C- tai D-asteikolla 2:n kohdalle ja lukemalla vastaavalta kohdalta A- tai B-asteikkoa tulos 4. (Tässä viivain tulee tarpeeseen.) Neliöjuuri lasketaan nurinpäin eli aloitetaan A- tai B-asteikolta ja luetaan tulos C- tai D-asteikolta. Myös neliö ja neliöjuuri hoituvat ilman liukuosan siirtelyä. Huomaa, että esimerkiksi neliöjuuri 120:stä täytyy laskea muodossa 1,2x102 eli neliöjuuri 1,2:sta laskutikulla (noin 1,1) ja neliöjuuri 102:sta päässä (onnistuu myös laskutikulla). Ei siis pidä laskea muodossa 12x101, koska neliöjuuri kymmenestä ei ole päässälasku.

Kuva 7. Potenssiin korotus 22 ja neliöjuuri 1,2:sta

A- ja B-asteikkojen avulla voi laskea myös kerto- ja jakolaskuja samaan tapaan kuin C- ja D-asteikoilla. Esimerkiksi 5x4 lasketaan seuraavasti: A-asteikolla siirrytään 1:stä 5:een, siirretään B-asteikon 1 tähän kohtaan ja siirrytään B-asteikossa 1:stä 4:ään, jolloin saadaan A-asteikolta tulos (20). Nyt ei siis ajauduta asteikon ulkopuolelle, kuten aiemmin on käynyt. Hintana tästä on huonompi tarkkuus, koska asteikko on tupla eli välillä 1-100.

Kuva 8. Tulo 5x4 A- ja B-asteikoilla

Alkuun

K-asteikko

K-asteikko on kuutioasteikko, jolloin luvun kuutio lasketaan seuraavasti: D-asteikolla siirrytään laskettavan luvun (esimerkiksi 2) kohdalle ja luetaan vastaavasta kohdasta K-asteikkoa tulos (8). Kuutiojuuri lasketaan käänteisesti. Jälleen täytyy huomata, että esimerkiksi kuutiojuuri 1200:sta lasketaan muodossa 1,2x103 eli kuutiojuuri 1,2:sta laskutikulla ja kuutiojuuri 103:sta päässä.

Kuva 9. Potenssin korotus 23 ja kuutiojuuri 1,2:sta

Alkuun

L-asteikko

L-asteikko on kymmenkantaisen logaritmin (lg) asteikko. Logaritmissa aloitetaan siirtymällä D-asteikossa oikealle kohdalle ja luetaan tulos L-asteikolta. Koska aloitusluku on välillä 1-10, logaritmin laskemisessa tarvitaan usein logaritmin laskusääntöjä. Esimerkiksi lg200 saadaan siten että lg200=lg(2x100)=lg2+lg100. Kannattaa huomata, että lg10=1, lg100=2, lg1000=3 ja niin edelleen. Laskutikulla saadaan lg2=0,3, joten koko tulos noin 0,3+2=2,3.

Kuva 10. Kymmenkantainen logaritmi lg2 ja kymmenkantainen potenssi 100,3

Aloittamalla L-asteikosta ja lukemalla tulos D-asteikolta saadaan tulos 10x. Esimerkiksi kyseisen 2,3:n potenssilasku tapahtuu jakamalla eksponentti osiin 0,3+2. Laskutikulla lasketaan 100,3=2,0 ja päässä 102=100. Näin ollen saadaan 100,3+2=100,3x102=2,0x100=200.

Alkuun

Asteikot S, ST ja T

S-asteikko on sinin ja kosinin [huomaa cosx=sin(90°-x)] asteikko. ST-asteikko on kaaren pituuden asteikko, mikä on pienillä kulmilla sama kuin sini tai tangentti. T-asteikko on tangentin ja kotangentin [huomaa cotx=1/(tanx)] asteikko. Laskettaessa näillä asteikoilla siirrytään halutulla asteikolla kulman lukemaan ja luetaan tulos D-asteikolta, joka antaa kymmenkertaisen tuloksen (ST-asteikon tapauksessa satakertaisen). Esimerkiksi sin30° antaa tulokseksi 5. Jos ollaan tarkkoja, S, ST ja T ovat käänteisfunktioiden, arcsin, arctan ja niin edelleen, asteikoita, sillä aloittaminen D-asteikolta ja siirtyminen funktion asteikolle antaa arvoksi kulman.

Kuva 11. Trigonometriset sin30° ja tan60°

Tangentin laskeminen, kun kulma on yli 45 astetta, tuottaa hieman vaivaa. Esimerkiksi tan60° lasketaan kotangentin avulla: T-asteikolla otetaan cot60°, luetaan välitulos (noin 5,75) D-asteikolta ja otetaan siitä käänteisluku CI-asteikolla, jolloin saadaan noin 1,73. Koska D-asteikon välitulos on kymmenkertainen, siitä käänteisluvun ottaminen antaa suoraan oikean tuloksen eikä kymmenkertaista tulosta, kuten CI-asteikolla yleensä.

Alkuun

Asteikot LL2 ja LL3

Asteikot LL3 ja LL2 ovat eksponenttifunktioiden (ex ja e0,1x) asteikoita. LL3:a käytettäessä asteikon Neperin luku e asetetaan D-asteikon 1:n kohdalle toimimaan kantalukuna tai hyödynnetään C-asteikkoa. Tämän jälkeen siirrytään D- tai C-asteikolla oikean eksponenttiluvun kohdalle ja luetaan tulos LL3-asteikolta kyseiseltä kohdalta. Koska D- ja C-asteikot ovat vain väli 1-10, eksponenttifunktiota laajennetaan LL2-asteikolla, joka on kymmenesosa-asteikko LL3:een verrattuna. Tällöin päästään eksponentteihin välillä 0,1-1. Luonnollinen logaritmi otetaan käänteisesti: siirrytään LL3- tai LL2-asteikolla oikealle kohtaa ja luetaan tulos D- tai C-asteikolta. LL2-asteikon käyttö antaa tässä tapauksessa D- ja C-asteikoilla kymmenkertaisen tuloksen.

Siirtämällä liukuosaa päästään LL3- ja LL2-asteikoiden huimimpaan ominaisuuteen: vapaavalintaiset eksponentit potenssiinkorotuksissa, vapaavalintaiset kantaluvut logaritmi­funktioille sekä muutkin juuret kuin neliö- ja kuutiojuuri (myös desimaali­lukujuuret). Esimerkiksi 34 saadaan siirtämällä LL3-asteikon 3 D-asteikon 1:n kohdalle kantaluvuksi, siirtymällä D-asteikossa 4:n kohdalle ja lukemalla tulos (noin 81) LL3-asteikolta tältä kohtaa. Tässä laskussa laskutikun ja etenkin tee se itse –versioiden rajallinen tarkkuus tulee hyvin esille. Juuret lasketaan käänteisesti. Esimerkiksi neljäsjuuri 81:n laskeminen aloitetaan siirtämällä LL3-asteikon 81 D-asteikon 4:n kohdalle, siirtymällä D-asteikon 1:n kohdalle ja lukemalla tulos (3) LL3-asteikolta.

Kuva 12. Potenssiin korotus 34 ja neljäsjuuri 81:stä

Potenssiin korotus 24 vaatii sekä LL2- että LL3-asteikkoa, koska LL2-asteikon 2:n siirtäminen D-asteikon 1:n kohdalle johtaa asteikolta ulos, kun haetaan tulosta eksponentin neljä kohdalta. Ongelman korjaa se huomio, että samalla kun LL3-asteikon Neperin luku e osuu D-asteikon 1:een, LL2-asteikon Neperin luku osuu D-asteikon 10:n kohdalle. Näin ollen siirtämällä LL2-asteikon 2 D-asteikon 10:n kohdalle saadaan 2 kantaluvuksi myös LL3-asteikolle (D-asteikon 1:n kohdalle), vaikka ollaan asteikon ulkopuolella. Nyt on mahdollista siirtyä D-asteikossa 4:n kohdalle ja lukea tulos (16) LL3-asteikolta.

Kuva 13. Potenssiin korotus 24

Logaritmin ottaminen tapahtuu seuraavasti: Esimerkiksi 2-kantaisen logaritmin ottaminen 16:sta aloitetaan siirtämällä LL2-asteikon 2 D-asteikon 10 kohdalle. Tämän jälkeen siirrytään LL3-asteikolla 16:n kohdalle ja luetaan tulos D-asteikolta (4). (Jos LL2-asteikon 2:n siirtää D-asteikon 1:n kohdalle, huomaa, että LL3-asteikon 16 ei osu D-asteikon kohdalle, lisäksi asteikon vaihtaminen johtaisi kymmenesosatulokseen.) Kannattaa huomata, että kyseinen lasku ei onnistu laskimella ilman kantaluvun muunnosta.

Kuva 14. Logaritmi log216

Sovelluksena voidaan laskea esimerkiksi 18-vaihteisen vaihteiston välityssuhdealue, kun geometrinen porras tiedetään. Esimerkiksi portaan ollessa 1,18 saadaan laskettavaksi 1,1817, joka täytyy muuttaa muotoon (1,1810)1,7, koska eksponentti ei osu välille 1-10. Aluksi asetetaan LL2-asteikolla 1,18 kantaluvuksi D-asteikon ykkösen kohdalle. 1,1810 saadaan siirtymällä LL2-asteikolta samalle kohtaa LL3-asteikolle. Tämä johtuu siitä, että LL3-asteikon (ex) eksponentti on kymmenkertainen LL2-asteikkoon (e0,1x) nähden. Näin saadaan välitulokseksi noin 5,6, joka toimii LL3-asteikon kantalukuna. Sitten siirrytään D-asteikolla kohtaan 1,7 ja luetaan tulos (noin 16,5) LL3-asteikolta.

Kuva 15. Potenssiin korotus 1,1817

Alkuun

Muita asteikoita

Aristo Scholar 0903 LL –laskutikussa on vain osa mahdollisista asteikoista. Muita ovat esimerkiksi piillä kertovat CF- ja DF-asteikot (πx) sekä neliön käänteisluvun antavat AI- ja BI-asteikot (1/x2). Eksponenttifunktiolla on myös LL1- ja LL0-asteikot (e0,01x ja e0,001x) sekä negatiivisen eksponentin asteikot LL03, LL02, LL01 ja LL00 eli e-x ja sen eri desimaalieksponentit. Eri asteikot vaihtelevat laskutikusta toiseen. Kyse on yleensä siitä, miten paljon asteikkoja saadaan mahdutettua mukaan ilman että koko kasvaa liikaa tai selkeys kärsii liiaksi.

Alkuun

Soveltaminen

Edellä on jo esitelty käänteisfunktioiden käyttöä, mutta laskutikulla voi laskea suoraan monenlaisia yhdistelmiä. Esimerkiksi aloittamalla A-asteikolta ja lukemalla tulos K-asteikolta saadan tulos funktiolle x3/2. Toisaalta vaikka sin2x saadaan aloittamalla S-asteikolta ja siirtymällä A-asteikolle. Huomaa, että tämä tulos on satakertainen oikeaan nähden. Esimerkiksi aloittamalla K-asteikolta ja siirtymällä L-asteikolle saadaan kymmenkantainen logaritmi x:n kuutiojuurelle. Vaikkapa tulon ja potenssiin korotuksen yhdistelmä 5x22 saadaan aloittamalla D-asteikolta 2:n kohdalta, siirtymällä A-asteikolle eli korottamalla toiseen potenssiin (välitulos 4) ja lopuksi laskemalla tulo 4x5 A- ja B-asteikoiden avulla.

Idea yhdistelmäkäytössä on se, että aloittamalla joltain muulta kuin C- tai D-asteikolta otetaan kyseisen asteikon käänteis­funktio, joka sitten sisällytetään sen asteikon funktioon, johon ollaan siirtymässä. Seuraavassa taulukossa on esitetty Aristo Scholar 0903 LL:n asteikoilla saatavat yhdistelmät. Eri yhdistelmiä on turha opetella ulkoa, sillä laskiessa voi aina kierrättää tuloksen C- ja D-asteikkojen kautta, jos ei satu muistamaan, onko jollekin laskulle suoraa yhdistelmää.

Taulukko 1. Asteikoiden yhdistelmät

x\f(x)

CD

CDI

AB

K

L

LL

S

T

CD

CDI

-

AB

K

-

L

-

LL

-

S

-

T

-

Alkuun

Toisen asteen yhtälö

Laskutikulla voi myös ratkaista muotoa x2+px+q=0 olevia toisen asteen yhtälöitä. Huomattakoon, että tavallisesta muodosta ax2+bx+c=0 saadaan kyseinen muoto jakamalla a:lla. Jos yhtälöllä on tekijät u ja v, saadaan niistä lähtemällä (x-u)(x-v)=x2-(u+v)x+uv=x2+px+q. Laskutikulla lähdetään haarukoimaan tekijöitä, joiden tulo uv=q ja summa u+v=-p. Tässä kannattaa huomioida se, kuinka käänteislukuasteikolla CI lasketaan tulo: D-asteikon 1:stä siirrytään u:n kohdalle, johon siirretään CI-asteikon v, siirrytään CI-asteikolla v:stä 1:een ja luetaan tulo uv D-asteikolta. Tämä tarkoittaa sitä, että siirtymällä D-asteikolla tulon uv=q kohdalle ja siirtämällä CI-asteikon 1 sen kohdalle, syntyvät asteikkojen D ja CI välille kaikki lukuparit u ja v, jotka muodostavat kyseisen tulon. Tehtäväksi jää etsiä lukupari, jolla on summa u+v=-p. Kun lukuparia hakee laskutikulla, ei tarvitse välittää miinusmerkeistä. Jos taas lukuparia ei löydy, täytyy vaihtaa CI-asteikon 10 tulon uv=q kohdalle. Tällöin täytyy muistaa lukupareja summatessa, että CI-asteikon luku on kymmenkertainen oikeaan nähden. Näin ollen esimerkiksi lukuparit 3 ja 5 sekä 5 ja 3 tarkoittavat summia 3+0,5=3,5 ja 5+0,3=5,3.

Ratkaistaan esimerkkinä yhtälö x2-5x+6=0. Ensin täytyy tehdä kaksi huomiota: Tulo uv=q=6 on positiivinen, joten u ja v ovat samanmerkkisiä. Toisaalta u+v=-p=5 eli u ja v ovat positiivisia. Nyt siirrytään D-asteikolla kohtaan 6 ja siirretään CI-asteikon 1 tähän kohtaan. Kun D- ja CI-asteikkojen lukupareja käy läpi, löytyy ratkaisu kahdesta kohtaa, kun luvut 2 ja 3 sekä 3 ja 2 täyttävät summaehdon 5. Ratkaisu on siis u=+2 ja v=+3.

Kuva 16. Yhtälön x2-5x+6=0 ratkaiseminen

Toisena esimerkkinä olkoon yhtälö x2+2x-8=0. Nyt tulo uv=q=-8 on negatiivinen, joten u ja v ovat erimerkkisiä. Summaehdossa etsitäänkin laskutikulla lukuparin erotusta, jonka itseisarvo on 2. Lisäksi summaehto u+v=-p=-2 kertoo, että tekijöistä negatiivinen on itseisarvoltaan suurempi. Seuraavaksi siirrytään D-asteikolla kohtaan 8 ja siirretään CI-asteikon 1 samaan kohtaan. D- ja CI-asteikkojen lukupareja läpikäytäessä havaitaan, että lukujen 4 ja 2 erotus täyttää summaehdon. Kun itseisarvoltaan suurempi luku on negatiivinen saadaan ratkaisuksi u=+2 ja v=-4.

Kuva 17. Yhtälön x2+2x-8=0 ratkaiseminen

Ratkaistaan vielä yhtälö x2-3,5x+1,5=0. Tulo uv=q=1,5 on positiivinen eli u ja v ovat samanmerkkisiä. Kun summa u+v=-p=3,5, saadaan, että u ja v ovat myös positiivisia. Kun siirrytään D-asteikolla kohtaan 1,5, siirretään CI-asteikon 1 sille kohdalle ja aloitetaan lukuparien haarukointi, huomataan, että mikään lukupari ei tuota haluttua summaa. Näin ollen luvun 1,5 kohdalle täytyy siirtää CI-asteikon 10. Nyt täytyy huomioida se, että CI-asteikon luku on kymmenkertainen oikeaan nähden. Lukupareja haarukoimalla löydetään 3 ja 5, jotka antavat summaksi ehto huomioiden 3+0,5=3,5. Ratkaisuksi saadaan siten u=+0,5 ja v=+3.

Kuva 18. Yhtälön x2-3,5x+1,5=0 ratkaiseminen

Jos tulo uv=q ei osu välille 1-10, niin tulo muutetaan eksponenttimuotoon, jonka kerroin sijoitetaan ilman kymmenpotenssiaan laskutikulle ja huomioidaan kymmenpotenssi lukupareja summatessa. Esimerkiksi tulo 60 muutetaan muotoon 6,0x101, jolloin laskutikkuun asetetaan tuloksi 6,0 ja huomioidaan, että toinen lukuparin luvuista summataan kymmenkertaisena. Tällöin vaikkapa lukupari 5 ja 1,2 antavat summaksi 5+12=17 tai 50+1,2=51,2. Tulon 600 kohdalla voi lukuparin toinen luku olla satakertainen tai molemmat luvut kymmenkertaisia. Tosin myös tulon osuessa välille 1-10 voivat tulon tekijät olla muulta väliltä kuin 1-10, esimerkiksi toinen väliltä 0,1-1 ja toinen 10-100. Vaihtoehtoja lukuparin haarukointiin tulee siis lisää, mutta summan suuruusluokka kertoo nopeasti, mitä lukua tai lukuja täytyy kertoa tai jakaa jollain kymmenen potenssilla.

Alkuun

Kuinka tehty

Tee se itse –laskutikut on tehty Exceliä käyttäen, tässä yritetään kuvata kuinka. Kuvia (Chart) varten on tehty xy-pistejoukkojen (XY Scatter) muodostamat kuvaajat. Kukin laskutikun asteikko (C, D jne.) on tehty kahden tai kolmen kuvaajan avulla. Ensin on karkea jako ja lisäksi yksi tai kaksi tiheämpää jakoa. Syy tähän jaotukseen selviää myöhemmin.

y-arvot ovat kussakin asteikossa vakioarvoja, jolloin saadaan vaakasuora viiva. Eri asteikoilla on eri y-arvot, ja niiden avulla määrätään asteikkojen päällekkäiset sijainnit sekä järjestys. x-arvoja varten listataan ensin laskutikun asteikon alkuarvot, jotka halutaan mukaan xy-kuvaajaan, esimerkiksi neliöllisissä A- ja B-asteikoissa pisteitä väliltä 1-100 päätepisteet mukaan lukien. Kannattaa huomata, että käytetyn välin pisteitä ei ole jaettu tasaisesti, vaan pistejoukko on alkupäästä tiheämpi ja loppupäästä harvempi, koska käytetään logaritmia. Näistä pisteistä otetaan käänteisfunktion arvo, esimerkin tapauksessa siis neliöjuuri. Versiossa 2 (versio 1 on harjoitelma) lisäksi otetaan kymmenkantainen logaritmi lg(x), jolloin saadaan kuvaajaan tulevien pisteiden x-arvot. Esimerkin tapauksessa neliöjuuri siis skaalaa välin 1-100 väliksi 1-10 ja edelleen kymmenkantaisen logaritmin otto väliksi 0-1. Näin koossa on xy-pistejoukko kuvaajaa varten. Samalla tavoin käsitellään kunkin laskutikun asteikon alkuarvot skaalaamalla käänteisfunktion ja logaritmin avulla välille 0-1. Versio 3 eroaa versiosta 2 siten, että siinä pisteiden x-arvoista ei ole otettu kymmenkantaista logaritmia, vaan kuvaajan x-akseli on logaritminen. Näin ollen versiossa 3 asteikkojen alkuarvot skaalataan käänteisfunktioiden avulla välille 1-10.

Saatuja xy-pisteitä ei ole piirretty kuvaan, eikä kaikissa asteikoissa ole edes pistejoukon muodostamaa vaakasuoraa viivaa. Sen sijaan kuvaajassa näkyvät pisteille itse valitut positiiviset tai negatiiviset y-suuntaiset virhearvot (Y Error Bars). Asteikon luettavuuden kannalta on tehty karkea ja tiheämpi jako. Karkeajaetuille arvoille on annettu suurempi virhearvo eli pidempi pystysuora viiva ja tiheämmälle jaolle pienempi arvo eli lyhyempi viiva. Näin xy-kuvaajiin on saatu laskutikulle tyypillinen viivoitinta muistuttava asteikko.

Kun kaikkien laskutikun asteikoiden xy-kuvaajat on piirretty, kuva on seuraavaksi rajattu valitsemalla sopivat x- ja y-akselin raja-arvot. Lisäksi kuvan akselit ja muu turha informaatio on poistettu näkyvistä. Lopuksi on vielä työläin vaihe, kun kaikki asteikoiden nimet ja lukuarvot täytyy sijoittaa tekstilaatikko kerrallaan oikeille paikoilleen. Tämä on puuduttavaa työtä ja vaatii aina uudelleensijoittelua, jos muuttaa asteikoiden sijainteja, mutta en keksinyt parempaakaan keinoa. Excel-tiedoston voi ladata oheisesta linkistä.

·     http://www.saunalahti.fi/aholop/Laskutikku.xls

Alkuun

Lähteet

·     Timo Leipälä: Laskutikuista, http://www.maol.fi/fileadmin/users/EDimensio/2008/Laskutikuista.pdf

·     The University Of Utah: What Can You Do With A Slide Rule?, https://www.math.utah.edu/~pa/sliderules/

Alkuun