Luku 3. Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen

Ekvivalentit yhtälöt

Kahta yhtälöä sanotaan ekvivalenteiksi eli yhtäpitäviksi, jos niillä on samat juuret.

Esimerkiksi yhtälöt 4x = 4 ja 2x = 2 ovat ekvivalentit.
Niillä on molemmilla sama juuri x = 1.

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälö ratkaistaan siten, että siitä johdetaan yhä yksinkertaisempia ja yksinkertaisempia, alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitäviä yhtälöitä. Lopuksi päädytään muotoon x = a, joka on yhtälön juuri.

Alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälö saadaan, jos
  1. yhtälön molemmille puolille lisätään sama luku,
  2. yhtälön molemmilta puolilta vähennetään sama luku,
  3. yhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla, nollasta eroavalla luvulla,
  4. yhtälön molemmat puolet jaetaan samalla, nollasta eroavalla luvulla.

Kun yhtälöä ratkaistaan, pyritään edellä mainittuja tapoja käyttäen saamaan kaikki x:n sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle ja ne termit, jotka eivät sisällä x:ää yhtälön oikealle puolelle.

Tarkastellaan ensin yhtälön ratkaisun eri vaiheista kahta ensimmäistä kohtaa:
Alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälö saadaan, jos

1. Yhtälön molemmille puolille lisätään sama luku
Esimerkki Olkoon yhtälö x - 7 = 16.

Nyt yhtälön vasemmalla puolella on termi -7. Se pitäisi saada yhtälön oikealle puolelle.

Lisätään molemmille puolille luku 7

x - 7 = 16 || +7 (Lisätään molemmille puolille 7)
x - 7 + 7 = 16 + 7
x = 23
Päädytään ratkaisuun x = 23.
Kun sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön x:n paikalle 23, todetaan, että sekä vasen että oikea puoli saavat saman arvon 16, joten x = 23 on etsitty juuri.
vasen puolioikea puoli
23 - 7 = 16
16 = 16

2. Yhtälön molemmilta puolilta vähennetään sama luku
Esimerkki Olkoon yhtälö 2x = x + 4.

Yhtälön oikealla puolella on termi x. Se pitäisi saada vasemmalle puolelle. Vähennetään molemmilta puolilta x.
(Sama tulos saadaan jos molemmille puolille lisätään -x.)

2x = x + 4 || -x
2x - x = x + 4 - x
x = 4

Alkuperäisen yhtälön juuri on x = 4, mikä todetaan sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön x:paikalle 4.
vasen puolioikea puoli
2·4 = 4+4
8 = 8


Luku 1    Luku 2    Luku 3    Luku 4    Luku 5    Esimerkkejä    Monivalinta 1    Monivalinta 2    Harjoituksia 1    Harjoituksia 2    Harjoituksia 3    Harjoituksia 4    Kertauspeli