|
Kahta yhtälöä sanotaan ekvivalenteiksi eli
yhtäpitäviksi, jos niillä on samat juuret. |
Esimerkiksi yhtälöt
4x = 4 ja 2x = 2 ovat ekvivalentit.
Niillä on molemmilla sama juuri x = 1.
Yhtälö ratkaistaan siten, että siitä johdetaan yhä yksinkertaisempia ja yksinkertaisempia, alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitäviä yhtälöitä. Lopuksi päädytään muotoon x = a, joka on yhtälön juuri.
Alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälö saadaan, jos
|
Kun yhtälöä ratkaistaan, pyritään edellä mainittuja tapoja käyttäen saamaan kaikki x:n sisältävät termit yhtälön vasemmalle puolelle ja ne termit, jotka eivät sisällä x:ää yhtälön oikealle puolelle.
Tarkastellaan ensin yhtälön ratkaisun eri vaiheista kahta ensimmäistä kohtaa:
Alkuperäisen yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälö saadaan, jos
1. Yhtälön molemmille puolille lisätään sama luku
Esimerkki
Olkoon yhtälö x - 7 = 16.
Nyt yhtälön vasemmalla puolella on termi -7. Se pitäisi saada yhtälön oikealle puolelle.
Lisätään molemmille puolille luku 7
Päädytään ratkaisuun x = 23.
x - 7 = 16 || +7 (Lisätään molemmille puolille 7) x - 7 + 7 = 16 + 7 x = 23
| vasen puoli | oikea puoli | ||
| 23 - 7 | = | 16 | |
| 16 | = | 16 |
2. Yhtälön molemmilta puolilta vähennetään sama luku
Esimerkki
Olkoon yhtälö 2x = x + 4.
Yhtälön oikealla puolella on termi x. Se pitäisi saada vasemmalle
puolelle. Vähennetään molemmilta puolilta x.
(Sama tulos saadaan jos molemmille puolille lisätään -x.)
Alkuperäisen yhtälön juuri on x = 4, mikä todetaan sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön x:paikalle 4.
2x = x + 4 || -x 2x - x = x + 4 - x x = 4
| vasen puoli | oikea puoli | ||
| 2·4 | = | 4+4 | |
| 8 | = | 8 |